Exponentielle Glättung

Die exponentielle Glättung (englisch exponential smoothing) ist ein Verfahren der Zeitreihenanalyse zur kurzfristigen Prognose aus einer Stichprobe mit periodischen Vergangenheitsdaten. Diese erhalten durch das exponentielle Glätten mit zunehmender Aktualität eine höhere Gewichtung. Die Alterung der Messwerte wird ausgeglichen, die Sicherheit der Vorhersage verbessert, insbesondere bei der Bedarfs-, Bestands- und Bestellrechnung. Grundlegend ist eine geeignete Datenbasis mit Messwerten aus Marktanalysen.

Die exponentielle Glättung wird vor allem verwendet, wenn die Zeitreihe keinerlei systematisches Muster wie linearen Anstieg oder Ähnliches erkennen lässt. Das Verfahren wird beispielsweise in der Lagerhaltung verwendet, wenn es etwa darum geht, den Bedarf eines zu bestellenden Artikels im kommenden Jahr zu ermitteln. So hat die Schweizer Armee mit der exponentiellen Glättung gute Erfolge bei der Ermittlung der benötigten Gewehre im folgenden Jahr gemacht.

Man ermittelt mit der exponentiellen Glättung also Prognosewerte. Man geht von dem Ansatz aus, dass der gegenwärtige Zeitreihenwert immer auch von den vergangenen Werten beeinflusst wird, wobei sich der Einfluss abschwächt, je weiter der Wert in der Vergangenheit liegt. Durch die Gewichtung der Zeitreihenwerte mit einem Glättungsfaktor werden starke Ausschläge einzelner beobachteter Werte auf der geschätzten Zeitreihe verteilt.

Formales Modell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben ist eine Zeitreihe mit den Beobachtungen zu den Zeitpunkten . Im Zeitpunkt wird für ein geglätteter Schätzwert errechnet, der sich als gewichteter Durchschnitt ergibt aus dem aktuellen Zeitreihenwert und dem Schätzwert der Vorperiode . Die Gewichtung wird durch den Glättungsfaktor bestimmt, wobei sein muss. Man erhält

.

Für ist der Vorhersagewert gleich dem Messwert (keine Glättung), für bleibt die Vorhersage unverändert (Glättung zu einer Parallelen zur x-Achse).

Die Zeitreihe baut sich so rekursiv auf. Theoretisch ist die laufende Zeitreihe beim Zeitpunkt bereits unendlich lang. Für die praktische Ermittlung des geglätteten Wertes wird man allerdings einen Startwert vorgeben und von da an die geglättete Zeitreihe ermitteln.

Baut man nun beginnend bei die geglättete Zeitreihe auf,

erhält man, wenn man die Rekursion auflöst,

.

Man sieht, wie wegen die Einflüsse der Vergangenheit immer mehr verschwinden.

α wird deshalb auch Gegenwartsfaktor genannt. Je größer , desto stärker ist bei der Berechnung der Bezug auf die aktuelleren Werte.

Der Schätzwert liefert dann den Prognosewert für den Zeitpunkt . Liegt also der beobachtete Zeitreihenwert der Gegenwart vor, kann die Prognose für die nächste Periode getroffen werden.

Beispiel für den exponentiell geglätteten DAX[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der geglätteten DAX-Werte

Es soll mit den monatlichen Durchschnittswerten des Aktienindex DAX für die Monate Januar 1977 bis August 1978 eine exponentielle Glättung berechnet werden. Die Daten liegen nebst den geglätteten Zeitreihenwerten vor:

DAX-Werte und ihre exponentielle Glättung (α = 0,3)Monat Zeitpunkt t DAX Vt Glättung y*t1977 Jan 0 512,3 512,31977 Feb 1 496,2 507,51977 Mrz 2 509,8 508,21977 Apr 3 551,9 521,31977 Mai 4 539,9 526,91977 Jun 5 524,9 526,31977 Jul 6 530,3 527,51977 Aug 7 540,9 531,51977 Sep 8 541,3 534,41977 Okt 9 554,2 540,41977 Nov 10 557,5 545,51977 Dez 11 549,3 546,71978 Jan 12 549,4 547,51978 Feb 13 552,9 549,11978 Mrz 14 549,7 549,31978 Apr 15 532,1 544,11978 Mai 16 545,5 544,51978 Jun 17 553,0 547,11978 Jul 18 582,1 557,61978 Aug 19 583,1 565,2

Der erste Wert wird mit 512,3 als Startwert genommen. Wir verwenden einen Glättungsfaktor α = 0,3.

Es ergeben sich die geglätteten Werte

Die Schätzung ist jetzt der Prognosewert für die Periode 2 und so weiter.

Die Grafik zeigt die Glättung für α = 0,3 und α = 0,7. Man sieht, dass der kleinere Glättungsfaktor die Zeitreihe stärker glättet, denn hier geht der aktuelle Wert jetzt nur mit einem Gewicht von 0,3 ein, wogegen die „mittleren“ Vergangenheitswerte weiterhin mit 0,7 berücksichtigt werden.

Anmerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die exponentielle Glättung ist dann ein empfehlenswertes Verfahren, wenn die Zeitreihenwerte einen chaotischen Eindruck machen und keinerlei Systematik erkennen lassen. Liegen allerdings Beobachtungen vor, die einen Trend beinhalten, d. h. die laufend steigen oder fallen, "schleppen" die geglätteten Werte "hinterher", wie man auch teilweise in der Grafik erkennen kann. So sieht man deutlich, wie zwischen t = 7 und t = 12 die Schätzwerte immer systematisch unter den beobachteten Werten liegen. Man kann diesem Problem mit der so genannten "doppelten exponentiellen Glättung" abhelfen.

Glättungsverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unterschieden werden die exponentielle Glättung 1. Ordnung und exponentielle Glättung 2. Ordnung. Hier beschrieben ist die exponentielle Glättung 1. Ordnung. Die Variante der 2. Ordnung berücksichtigt einen Trend in der Zeitreihe.

Exponentielle Glättung (Materialwirtschaft)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das besondere an der exponentiellen Glättung ist die Tatsache, dass der errechnete Prognosewert mit dem tatsächlich anfallenden Verbrauchswert abgeglichen und die entstandene Abweichung in einer gewünschten, individuell gestaltbaren Weise durch Verwendung des Glättungsfaktors Alpha berücksichtigt wird:

  • zu 100 % mit Faktor 1
  • überhaupt nicht mit Faktor 0

Formel für die exponentielle Glättung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vn = Vorhersagebedarf für neue Periode

Va = Vorhersagebedarf für alte Periode

Vt = tatsächlicher Verbrauch für alte Periode

α = Glättungsfaktor

Beispiel:Vn = 100 + 0,5·(110 – 100) = 100 + 0,5·10 = 100 + 5 = 105

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die exponentielle Glättung (englisch exponential smoothing) ist ein Verfahren der Zeitreihenanalyse zur kurzfristigen Prognose aus einer Stichprobe mit periodischen Vergangenheitsdaten. Diese erhalten durch das exponentielle Glätten mit zunehmender Aktualität eine höhere Gewichtung. Die Alterung der Messwerte wird ausgeglichen, die Sicherheit der Vorhersage verbessert, insbesondere bei der Bedarfs-, Bestands- und Bestellrechnung. Grundlegend ist eine geeignete Datenbasis mit Messwerten aus Marktanalysen.

Die exponentielle Glättung wird vor allem verwendet, wenn die Zeitreihe keinerlei systematisches Muster wie linearen Anstieg oder Ähnliches erkennen lässt. Das Verfahren wird beispielsweise in der Lagerhaltung verwendet, wenn es etwa darum geht, den Bedarf eines zu bestellenden Artikels im kommenden Jahr zu ermitteln. So hat die Schweizer Armee mit der exponentiellen Glättung gute Erfolge bei der Ermittlung der benötigten Gewehre im folgenden Jahr gemacht.

Man ermittelt mit der exponentiellen Glättung also Prognosewerte. Man geht von dem Ansatz aus, dass der gegenwärtige Zeitreihenwert immer auch von den vergangenen Werten beeinflusst wird, wobei sich der Einfluss abschwächt, je weiter der Wert in der Vergangenheit liegt. Durch die Gewichtung der Zeitreihenwerte mit einem Glättungsfaktor werden starke Ausschläge einzelner beobachteter Werte auf der geschätzten Zeitreihe verteilt.

Formales Modell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben ist eine Zeitreihe mit den Beobachtungen zu den Zeitpunkten . Im Zeitpunkt wird für ein geglätteter Schätzwert errechnet, der sich als gewichteter Durchschnitt ergibt aus dem aktuellen Zeitreihenwert und dem Schätzwert der Vorperiode . Die Gewichtung wird durch den Glättungsfaktor bestimmt, wobei sein muss. Man erhält

.

Für ist der Vorhersagewert gleich dem Messwert (keine Glättung), für bleibt die Vorhersage unverändert (Glättung zu einer Parallelen zur x-Achse).

Die Zeitreihe baut sich so rekursiv auf. Theoretisch ist die laufende Zeitreihe beim Zeitpunkt bereits unendlich lang. Für die praktische Ermittlung des geglätteten Wertes wird man allerdings einen Startwert vorgeben und von da an die geglättete Zeitreihe ermitteln.

Baut man nun beginnend bei die geglättete Zeitreihe auf,

erhält man, wenn man die Rekursion auflöst,

.

Man sieht, wie wegen die Einflüsse der Vergangenheit immer mehr verschwinden.

α wird deshalb auch Gegenwartsfaktor genannt. Je größer , desto stärker ist bei der Berechnung der Bezug auf die aktuelleren Werte.

Der Schätzwert liefert dann den Prognosewert für den Zeitpunkt . Liegt also der beobachtete Zeitreihenwert der Gegenwart vor, kann die Prognose für die nächste Periode getroffen werden.

Beispiel für den exponentiell geglätteten DAX[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der geglätteten DAX-Werte

Es soll mit den monatlichen Durchschnittswerten des Aktienindex DAX für die Monate Januar 1977 bis August 1978 eine exponentielle Glättung berechnet werden. Die Daten liegen nebst den geglätteten Zeitreihenwerten vor:

DAX-Werte und ihre exponentielle Glättung (α = 0,3)Monat Zeitpunkt t DAX Vt Glättung y*t1977 Jan 0 512,3 512,31977 Feb 1 496,2 507,51977 Mrz 2 509,8 508,21977 Apr 3 551,9 521,31977 Mai 4 539,9 526,91977 Jun 5 524,9 526,31977 Jul 6 530,3 527,51977 Aug 7 540,9 531,51977 Sep 8 541,3 534,41977 Okt 9 554,2 540,41977 Nov 10 557,5 545,51977 Dez 11 549,3 546,71978 Jan 12 549,4 547,51978 Feb 13 552,9 549,11978 Mrz 14 549,7 549,31978 Apr 15 532,1 544,11978 Mai 16 545,5 544,51978 Jun 17 553,0 547,11978 Jul 18 582,1 557,61978 Aug 19 583,1 565,2

Der erste Wert wird mit 512,3 als Startwert genommen. Wir verwenden einen Glättungsfaktor α = 0,3.

Es ergeben sich die geglätteten Werte

Die Schätzung ist jetzt der Prognosewert für die Periode 2 und so weiter.

Die Grafik zeigt die Glättung für α = 0,3 und α = 0,7. Man sieht, dass der kleinere Glättungsfaktor die Zeitreihe stärker glättet, denn hier geht der aktuelle Wert jetzt nur mit einem Gewicht von 0,3 ein, wogegen die „mittleren“ Vergangenheitswerte weiterhin mit 0,7 berücksichtigt werden.

Anmerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die exponentielle Glättung ist dann ein empfehlenswertes Verfahren, wenn die Zeitreihenwerte einen chaotischen Eindruck machen und keinerlei Systematik erkennen lassen. Liegen allerdings Beobachtungen vor, die einen Trend beinhalten, d. h. die laufend steigen oder fallen, "schleppen" die geglätteten Werte "hinterher", wie man auch teilweise in der Grafik erkennen kann. So sieht man deutlich, wie zwischen t = 7 und t = 12 die Schätzwerte immer systematisch unter den beobachteten Werten liegen. Man kann diesem Problem mit der so genannten "doppelten exponentiellen Glättung" abhelfen.

Glättungsverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unterschieden werden die exponentielle Glättung 1. Ordnung und exponentielle Glättung 2. Ordnung. Hier beschrieben ist die exponentielle Glättung 1. Ordnung. Die Variante der 2. Ordnung berücksichtigt einen Trend in der Zeitreihe.

Exponentielle Glättung (Materialwirtschaft)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das besondere an der exponentiellen Glättung ist die Tatsache, dass der errechnete Prognosewert mit dem tatsächlich anfallenden Verbrauchswert abgeglichen und die entstandene Abweichung in einer gewünschten, individuell gestaltbaren Weise durch Verwendung des Glättungsfaktors Alpha berücksichtigt wird:

  • zu 100 % mit Faktor 1
  • überhaupt nicht mit Faktor 0

Formel für die exponentielle Glättung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vn = Vorhersagebedarf für neue Periode

Va = Vorhersagebedarf für alte Periode

Vt = tatsächlicher Verbrauch für alte Periode

α = Glättungsfaktor

Beispiel:Vn = 100 + 0,5·(110 – 100) = 100 + 0,5·10 = 100 + 5 = 105

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Exponentielle Glättung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Doppellizenz GNU-Lizenz für freie Dokumentation und Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.